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江西省2026年专升本高等数学备考复习知识点总结

目录

mindmap
  root["高等数学"]
    ["函数/极限/连续"]
      函数
      极限
      连续
    ["一元函数微分学"]
      导数与微分
      中值定理与导数应用
    ["一元函数积分学"]
      不定积分
      定积分
      定积分应用
    ["常微分方程"]
      一阶微分方程
      二阶线性微分方程
    ["多元函数微分学"]
      偏导数/全微分
      微分学应用
    ["二重积分"]
      概念/性质
      计算/应用

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      极限
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      计算/应用

第一部分：函数、极限和连续

一、函数

1.1 函数的基本概念

定义：设 $D$ 是一个非空实数集，如果存在对应法则 $f$，使得对任意 $x \in D$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记作 $y = f(x)$。

要素：

• 定义域 $D$
• 对应法则 $f$
• 值域 $R_f = \{y | y = f(x), x \in D\}$

1.2 函数的性质

| 周期性 | 若存在 $T > 0$，使 $f(x + T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数 | 验证周期等式 |

1.3 基本初等函数

graph LR
    A["基本初等函数"] --> B["幂函数<br/>$$y = x^\alpha$$"]
    A --> C["指数函数<br/>$$y = a^x$$"]
    A --> D["对数函数<br/>$$y = log_a x$$"]
    A --> E["三角函数"]
    A --> F["反三角函数"]

    E --> E1["正弦<br/>$$y = sin x$$"]
    E --> E2["余弦<br/>$$y = cos x$$"]
    E --> E3["正切<br/>$$y = tan x$$"]
    E --> E4["余切<br/>$$y = cot x$$"]

    F --> F1["反正弦<br/>$$y = arcsin x$$"]
    F --> F2["反余弦<br/>$$y = arccos x$$"]
    F --> F3["反正切<br/>$$y = arctan x$$"]
    F --> F4["反余切<br/>$$y = arccot x$$"]

graph LR
    A["基本初等函数"] --> B["幂函数<br/>$$y = x^\alpha$$"]
    A --> C["指数函数<br/>$$y = a^x$$"]
    A --> D["对数函数<br/>$$y = log_a x$$"]
    A --> E["三角函数"]
    A --> F["反三角函数"]

    E --> E1["正弦<br/>$$y = sin x$$"]
    E --> E2["余弦<br/>$$y = cos x$$"]
    E --> E3["正切<br/>$$y = tan x$$"]
    E --> E4["余切<br/>$$y = cot x$$"]

    F --> F1["反正弦<br/>$$y = arcsin x$$"]
    F --> F2["反余弦<br/>$$y = arccos x$$"]
    F --> F3["反正切<br/>$$y = arctan x$$"]
    F --> F4["反余切<br/>$$y = arccot x$$"]

1.4 函数的运算

四则运算：$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$，$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$

复合运算：若 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则 $y = f[g(x)]$ 称为复合函数

反函数：若 $y = f(x)$ 在 $D$ 上严格单调，则存在反函数 $x = f^{-1}(y)$

【例题1】

题目：求函数 $y = \sqrt{4 - x^2} + \ln(x - 1)$ 的定义域。

解： 要使函数有意义，需满足：

解得：

因此定义域为 $D = (1, 2]$

【例题2】

题目：判断函数 $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ 的奇偶性。

解：

因此 $f(x)$ 为奇函数

二、极限

2.1 极限的基本概念

函数极限定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$，使得对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，都有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

2.2 极限的运算法则

四则运算法则：若 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

2.3 两个重要极限

重要极限 I：

重要极限 II：

2.4 无穷小与无穷大

无穷小：若 $\lim \alpha(x) = 0$，则称 $\alpha(x)$ 为无穷小量。

无穷小的比较：

• 若 $\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0$，则 $\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小，记作 $\alpha = o(\beta)$
• 若 $\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$
• 若 $\lim \frac{\alpha}{\beta} = c \neq 0$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶无穷小

常用等价无穷小（当 $x \to 0$ 时）：

【例题3】

题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \cdot \sin 3x}$

解：使用等价无穷小代换

【例题4】

题目：求极限 $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 3}{2x + 1}\right)^{x+1}$

解：利用重要极限

三、连续

3.1 连续的定义

函数在一点连续：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

连续的三个条件：

1. $f(x_0)$ 存在
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

3.2 间断点的分类

graph TD
    A["间断点"] --> B["第一类间断点<br/>左右极限都存在"]
    A --> C["第二类间断点<br/>至少一侧极限不存在"]

    B --> B1["可去间断点<br/>左右极限相等"]
    B --> B2["跳跃间断点<br/>左右极限不等"]

    C --> C1["无穷间断点<br/>极限为无穷"]
    C --> C2["振荡间断点<br/>极限不存在且不为无穷"]

graph TD
    A["间断点"] --> B["第一类间断点<br/>左右极限都存在"]
    A --> C["第二类间断点<br/>至少一侧极限不存在"]

    B --> B1["可去间断点<br/>左右极限相等"]
    B --> B2["跳跃间断点<br/>左右极限不等"]

    C --> C1["无穷间断点<br/>极限为无穷"]
    C --> C2["振荡间断点<br/>极限不存在且不为无穷"]

3.3 闭区间上连续函数的性质

【例题5】

题目：讨论函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处的连续性，若不连续，指出间断点类型。

解：

但 $f(1)$ 无定义，所以 $x = 1$ 是间断点。

由于 $\lim_{x \to 1} f(x)$ 存在（等于2），所以 $x = 1$ 是可去间断点。

【例题6】

题目：证明方程 $x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有一个实根。

证：设 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$

由于 $f(x)$ 是多项式函数，在 $[0, 1]$ 上连续。

计算端点值：

由于 $f(0) \cdot f(1) = 1 \times (-2) = -2 < 0$

根据零点定理，在 $(0, 1)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f(\xi) = 0$，即方程在 $(0, 1)$ 内至少有一个实根。

第二部分：一元函数微分学及其应用

一、导数与微分

1.1 导数的定义

定义：设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时，相应地函数取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限值为函数在点 $x_0$ 处的导数。

1.2 导数的几何意义

导数 $f'(x_0)$ 表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。

切线方程：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

法线方程：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ （当 $f'(x_0) \neq 0$ 时）

1.3 基本导数公式

1.4 求导法则

四则运算：

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

复合函数求导（链式法则）： 若 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则

1.5 高阶导数

定义：导数的导数称为二阶导数，记作 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

常见函数的高阶导数：

• $(x^n)^{(n)} = n!$
• $(e^x)^{(n)} = e^x$
• $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
• $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

【例题7】

题目：求函数 $y = \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ 的导数。

解：使用链式法则

【例题8】

题目：求曲线 $y = x^3 - 3x + 2$ 在点 $(2, 4)$ 处的切线方程和法线方程。

解：先求导数

在 $x = 2$ 处：

切线方程：

法线斜率：

法线方程：

二、微分中值定理与导数的应用

2.1 微分中值定理

graph TD
    A["微分中值定理"] --> B["罗尔定理<br/>Rolle"]
    A --> C["拉格朗日中值定理<br/>Lagrange"]

    B --> B1["$$f'(\\xi) = 0$$"]
    B --> B2["是拉格朗日定理的特例"]

    C --> C1["$$f'(\\xi) = \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$"]
    C --> C2["几何意义：平行弦"]

graph TD
    A["微分中值定理"] --> B["罗尔定理<br/>Rolle"]
    A --> C["拉格朗日中值定理<br/>Lagrange"]

    B --> B1["$$f'(\\xi) = 0$$"]
    B --> B2["是拉格朗日定理的特例"]

    C --> C1["$$f'(\\xi) = \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$"]
    C --> C2["几何意义：平行弦"]

罗尔定理：若函数 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a, b]$ 上连续
2. 在 $(a, b)$ 内可导
3. $f(a) = f(b)$

则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f'(\xi) = 0$。

拉格朗日中值定理：若函数 $f(x)$ 满足：

1. 在 $[a, b]$ 上连续
2. 在 $(a, b)$ 内可导

则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使

2.2 洛必达法则

适用类型：$\frac{0}{0}$ 型、$\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式

法则：若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，且 $f'(x)$、$g'(x)$ 存在，$g'(x) \neq 0$，则

其他未定式：$\infty - \infty$、$0 \cdot \infty$、$0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$ 型可通过变形转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。

2.3 函数的单调性与极值

单调性判定：

• 若 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增
• 若 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减

极值的判定：

极值判定流程：

flowchart TD
    A["求导<br/>$$f'(x)$$"] --> B["求驻点与不可导点"]
    B --> C["列表判断"]
    C --> D{"$$f'(x)$$ 变号?"}
    D -->|左负右正| E["极小值"]
    D -->|左正右负| F["极大值"]
    D -->|不变号| G["不是极值"]

flowchart TD
    A["求导<br/>$$f'(x)$$"] --> B["求驻点与不可导点"]
    B --> C["列表判断"]
    C --> D{"$$f'(x)$$ 变号?"}
    D -->|左负右正| E["极小值"]
    D -->|左正右负| F["极大值"]
    D -->|不变号| G["不是极值"]

2.4 曲线的凹凸性与拐点

凹凸性判定：

• 若 $f''(x) > 0$，则曲线是凹的（向上凸）
• 若 $f''(x) < 0$，则曲线是凸的（向下凸）

拐点：曲线凹凸性的分界点

拐点求法：

1. 求 $f''(x)$
2. 求使 $f''(x) = 0$ 或 $f''(x)$ 不存在的点
3. 检查这些点两侧 $f''(x)$ 是否变号

【例题9】

题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

解：使用洛必达法则

【例题10】

题目：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的单调区间、极值及拐点。

解：

1. 求导数

2. 求驻点：$f'(x) = 0$ 得 $x = -1$，$x = 3$
3. 列表判断：

4. 极值：

• 极大值：$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
• 极小值：$f(3) = 3^3 - 3 \times 3^2 - 9 \times 3 + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$

5. 拐点： $f''(x) = 0$ 得 $x = 1$

• 当 $x < 1$ 时，$f''(x) < 0$，曲线凸
• 当 $x > 1$ 时，$f''(x) > 0$，曲线凹

因此拐点为 $(1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6)$

第三部分：一元函数积分学及其应用

一、不定积分

1.1 原函数与不定积分

原函数定义：若 $F'(x) = f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。

不定积分定义：若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 的所有原函数 $F(x) + C$ 称为 $f(x)$ 的不定积分，记作

1.2 基本积分公式

1.3 积分方法

第一换元法（凑微分法）：

第二换元法：设 $x = \varphi(t)$，则

常用三角代换：

• 含 $\sqrt{a^2 - x^2}$：令 $x = a \sin t$
• 含 $\sqrt{a^2 + x^2}$：令 $x = a \tan t$
• 含 $\sqrt{x^2 - a^2}$：令 $x = a \sec t$

分部积分法：

选择原则：按"反、对、幂、三、指"顺序选择 $u$（反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数）

【例题11】

题目：求不定积分 $\int x \ln x dx$

解：使用分部积分法 设 $u = \ln x$，$dv = x dx$ 则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = \frac{1}{2}x^2$

【例题12】

题目：求不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} dx$

解：使用第二换元法 令 $t = \sqrt[6]{x}$，则 $x = t^6$，$dx = 6t^5 dt$

二、定积分

2.1 定积分的概念

定义：设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，将 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间，取每个小区间上任意一点 $\xi_i$，作和式 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$。当最大小区间长度 $\lambda \to 0$ 时，若此和式极限存在，则称此极限值为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分，记作

2.2 牛顿-莱布尼茨公式

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

2.3 定积分的性质

2.4 变上限积分函数

定义：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 称为变上限积分函数。

导数公式：

推广公式：

【例题13】

题目：求 $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t dt$

解：使用变上限积分求导公式

【例题14】

题目：计算定积分 $\int_0^{\pi} \sqrt{1 + \cos 2x} dx$

解：

三、定积分的应用

3.1 平面图形的面积

由曲线 $y = f(x)$、$y = g(x)$ 与直线 $x = a$、$x = b$ 所围图形的面积：

由参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ ($t_1 \leq t \leq t_2$) 所围图形的面积：

3.2 旋转体的体积

绕 x 轴旋转：

绕 y 轴旋转：

【例题15】

题目：求由抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = x$ 所围图形的面积。

解：

1. 求交点：$x^2 = x$，得 $x = 0$ 或 $x = 1$
2. 在区间 $[0, 1]$ 上，$x > x^2$

【例题16】

题目：求由曲线 $y = \sqrt{x}$、$x = 4$ 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。

解：

第四部分：常微分方程

一、一阶微分方程

1.1 可分离变量微分方程

形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

解法：分离变量后积分

1.2 齐次微分方程

形式：$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$

解法：令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$

1.3 一阶线性微分方程

形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

通解公式：

【例题17】

题目：求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}$

解：这是齐次方程，令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$