要考试了，于是乎让 AI 根据考纲总结了个复习总结（？）

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以下内容为 AI 生成，仅供参考！

高等数学背诵速记手册

一、三角函数基础

1.1 锐角三角函数定义

在直角三角形中，设角为 $\alpha$ ，对边为 $a$ ，邻边为 $b$ ，斜边为 $c$ ：

\sin\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{a}{c},\quad \cos\alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}

\tan\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{a}{b},\quad \cot\alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{b}{a}

1.2 任意角三角函数定义（单位圆）

在单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上，角 $\alpha$ 终边与圆交于点 $(x, y)$ ：

\sin\alpha = y,\quad \cos\alpha = x,\quad \tan\alpha = \frac{y}{x}

1.3 常用角度三角函数值（必须背诵）

背诵要求

此表格必须完全背诵！考试中经常需要快速回忆这些值。

角度	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
弧度	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\tan$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在	$0$	不存在	$0$
$\cot$	不存在	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	不存在	$0$	不存在

记忆技巧

记住 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ 。30°时 sin 是 cos 的一半，60°时相反。

1.4 三角函数的象限符号（ASTC原则）

口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦

象限	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
第一象限	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
第二象限	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
第三象限	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
第四象限	$-$	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

1.5 诱导公式（"奇变偶不变，符号看象限"）

记忆口诀

奇变偶不变，符号看象限

奇变： $\frac{\pi}{2} + \alpha$ 、 $\pi - \alpha$ 、 $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ 等
偶不变： $-\alpha$ 、 $\pi + \alpha$ 、 $2\pi - \alpha$ 等

公式类型	公式
$\pi + \alpha$ （奇变）	$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ ， $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ ， $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$
$-\alpha$ （偶不变）	$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ ， $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ ， $\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$
$\pi - \alpha$ （奇变）	$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ ， $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ ， $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$
$2\pi - \alpha$ （偶不变）	$\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$ ， $\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$ ， $\tan(2\pi - \alpha) = -\tan\alpha$
$\frac{\pi}{2} - \alpha$ （互余）	$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$ ， $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$
$\frac{\pi}{2} + \alpha$ （奇变）	$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$ ， $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$

使用技巧

把 $\alpha$ 看作锐角，判断原函数在哪个象限，然后确定符号。

例如 $\sin(\pi - \alpha)$ ， $\pi - \alpha$ 在第二象限，sin 为正，所以 $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ 。

1.6 基本三角恒等式（重要！）

三角恒等式是化简的基础

这些恒等式在积分、微分方程等章节经常用到，必须熟练掌握！

平方关系

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}

1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}

商数关系

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

倒数关系

\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1

\sin\alpha \cdot \csc\alpha = 1

\cos\alpha \cdot \sec\alpha = 1

1.7 两角和差公式

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

1.8 二倍角公式

\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha

\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

降幂公式（重要）：

\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2},\quad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}

1.9 半角公式

\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}

\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}

\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}

1.10 万能公式（用于积分）

设 $t = \tan\frac{\alpha}{2}$ ，则：

\sin\alpha = \frac{2t}{1 + t^2},\quad \cos\alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},\quad \tan\alpha = \frac{2t}{1 - t^2}

1.11 三角函数图像与性质

函数	定义域	值域	周期	奇偶性	单调性
$\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$	奇	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 递增
$\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1, 1]$	$2\pi$	偶	$[0, \pi]$ 递减
$\tan x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$	奇	各区间递增
$\cot x$	$x \neq k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$	奇	各区间递减

1.12 反三角函数

函数	定义域	值域	主值范围
$y = \arcsin x$	$[-1, 1]$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$	第一、四象限
$y = \arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$	第一、二象限
$y = \arctan x$	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$	第一、四象限
$y = \operatorname{arccot} x$	$\mathbb{R}$	$(0, \pi)$	第一、二象限

1.13 三角函数最值

$\sin x$ 、 $\cos x$ ：最大值 $1$ ，最小值 $-1$
$\tan x$ 、 $\cot x$ ：无最值

1.14 三角函数在微积分中的应用

导数（必须熟记）

(\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x,\quad (\tan x)' = \sec^2 x

(\cot x)' = -\csc^2 x,\quad (\sec x)' = \sec x\tan x,\quad (\csc x)' = -\csc x\cot x

积分

\int \sin x dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x dx = \sin x + C

\int \sec^2 x dx = \tan x + C,\quad \int \csc^2 x dx = -\cot x + C

\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C,\quad \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C

\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C,\quad \int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C

三角换元（重要）

三角换元记忆规则

减号 → 正弦
加号 → 正切
正弦变余弦，正切变正割

被积函数含有：

$\sqrt{a^2 - x^2}$ → 令 $x = a\sin t$ ，则 $\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos t$ ， $dx = a\cos t dt$
$\sqrt{a^2 + x^2}$ → 令 $x = a\tan t$ ，则 $\sqrt{a^2 + x^2} = a\sec t$ ， $dx = a\sec^2 t dt$
$\sqrt{x^2 - a^2}$ → 令 $x = a\sec t$ ，则 $\sqrt{x^2 - a^2} = a\tan t$ ， $dx = a\sec t\tan t dt$

1.15 常用三角恒等变形技巧

降幂： $\sin^2 x = \frac{1 - \cos2x}{2}$ ， $\cos^2 x = \frac{1 + \cos2x}{2}$
升幂： $1 + \cos2x = 2\cos^2 x$ ， $1 - \cos2x = 2\sin^2 x$
化简： $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin2x$
万能代换：遇到三角函数有理式积分时使用

二、极限与连续

1.1 两个重要极限

必须熟记的两个极限

考试必考！遇到 $\frac{0}{0}$ 型含三角函数的极限，优先想到第一个；遇到 $1^\infty$ 型，优先想到第二个。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

使用技巧

第一个极限常用于处理 $\frac{\sin(\text{xxx})}{\text{xxx}}$ 形式；第二个极限常用于处理 $(1+\frac{1}{n})^n$ 或 $(1+\frac{1}{x})^x$ 形式。

1.2 等价无穷小（当 $x \to 0$ 时）

等价无穷小代换禁忌

只能用于乘除法，绝对不能用于加减法！这是考试中最常见的错误之一。

\sin x \sim x,\ \tan x \sim x,\ \arcsin x \sim x,\ \arctan x \sim x

1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2,\ \ln(1 + x) \sim x,\ e^x - 1 \sim x,\ (1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x

1.3 间断点分类

第一类：左右极限都存在
- 可去：左右极限相等
- 跳跃：左右极限不等
第二类：至少一侧极限不存在（无穷、振荡）

二、导数与微分

2.1 基本导数公式

函数	导数
$C$	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$
$\operatorname{arccot} x$	$-\frac{1}{1 + x^2}$

记忆口诀

正弦变余弦，余弦变负正弦

正切变正割方，余切变负余割方

指数不变底数取对，对数函数一分之 x

反正弦导数分母根号一减 x 方，反正切导数分母一加 x 方。

2.2 求导法则

四则运算：

(u \pm v)' = u' \pm v'

(uv)' = u'v + uv'

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

链式法则： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

2.3 导数应用

判定内容	条件	结论
单调性	$f'(x) > 0$	单调递增
	$f'(x) < 0$	单调递减
极值（第一充分）	$f'(x)$ 左负右正	极小值
	$f'(x)$ 左正右负	极大值
极值（第二充分）	$f'(x_0) = 0$ ， $f''(x_0) > 0$	极小值
	$f'(x_0) = 0$ ， $f''(x_0) < 0$	极大值
凹凸性	$f''(x) > 0$	凹（上凸）
	$f''(x) < 0$	凸（下凸）

2.4 洛必达法则

洛必达法则使用四要点

只能用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
每次使用前都要检查是否仍为未定式
导数之比的极限不存在，不等于原极限不存在
可与等价无穷小结合使用

适用类型： $\frac{0}{0}$ 、 $\frac{\infty}{\infty}$

\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}

三、积分学

3.1 基本积分公式

被积函数	积分结果
$0$	$C$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ $n \neq -1$ ）
$\frac{1}{x}$	$\ln \lvert x \rvert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\csc^2 x$	$-\cot x + C$
$\frac{1}{1 + x^2}$	$\arctan x + C$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin x + C$

3.2 积分方法

第一换元法（凑微分）：

\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f[\varphi(x)]d\varphi(x) = F[\varphi(x)] + C

第二换元法常用代换：

$\sqrt{a^2 - x^2}$ ：令 $x = a \sin t$
$\sqrt{a^2 + x^2}$ ：令 $x = a \tan t$
$\sqrt{x^2 - a^2}$ ：令 $x = a \sec t$

分部积分法：

\int u dv = uv - \int v du

分部积分 u 的选择顺序（必须背诵）

按 反、对、幂、三、指 顺序选择 $u$ ：

反三角函数（优先）
对数函数
幂函数
三角函数
指数函数（最后）

选 $u$ 的顺序：反、对、幂、三、指

3.3 牛顿-莱布尼茨公式

\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Big|_a^b

3.4 变上限积分求导

\frac{d}{dx}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt = f[\psi(x)]\psi'(x) - f[\varphi(x)]\varphi'(x)

3.5 定积分应用

平面图形面积：

S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx

旋转体体积：

绕 x 轴： $V_x = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$
绕 y 轴： $V_y = 2\pi \int_a^b x|f(x)| dx$

四、微分方程

4.1 一阶微分方程

可分离变量： $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx

齐次方程： $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$ 令 $u = \frac{y}{x}$

一阶线性方程： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

一阶线性微分方程通解公式

$y = e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]$

通解公式：

y = e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]

4.2 二阶常系数齐次线性方程

形式： $y'' + py' + qy = 0$ 特征方程： $r^2 + pr + q = 0$

特征根与通解的对应关系

不等实根：直接相加
相等实根：前面加 $x$
共轭复根： $e^{\alpha x}$ 乘以三角函数

特征根	通解
$r_1 \neq r_2$ （不等实根）	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
$r_1 = r_2$ （相等实根）	$y = (C_1 + C_2 x)e^{r_1 x}$
$r = \alpha \pm i\beta$ （共轭复根）	$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

五、多元函数微分学

5.1 偏导数

对 $x$ 求偏导： $y$ 看作常数对 $y$ 求偏导： $x$ 看作常数

5.2 全微分

dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy

5.3 复合函数求导（链式法则）

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}

5.4 极值判定

必要条件： $f_x(x_0, y_0) = 0$ ， $f_y(x_0, y_0) = 0$

充分条件：设 $A = f_{xx}$ ， $B = f_{xy}$ ， $C = f_{yy}$ ， $\Delta = AC - B^2$

极值判定的关键

先算 $\Delta = AC - B^2$
若 $\Delta > 0$ ，再看 $A$ 的符号
$\Delta > 0$ 且 $A > 0$ → 极小值
$\Delta > 0$ 且 $A < 0$ → 极大值
$\Delta < 0$ → 不是极值

$\Delta$	$A$	结论
$\Delta > 0$	$A < 0$	极大值
$\Delta > 0$	$A > 0$	极小值
$\Delta < 0$	—	不是极值
$\Delta = 0$	—	需进一步判定

5.5 拉格朗日乘数法

求 $z = f(x, y)$ 在 $\varphi(x, y) = 0$ 下的极值：构造 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\varphi(x, y)$ 求解：

\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}

六、二重积分

6.1 直角坐标系计算

X 型区域： $a \leq x \leq b$ ， $\varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)$

\iint_D f(x, y)dxdy = \int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)dy

Y 型区域： $c \leq y \leq d$ ， $\psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)$

\iint_D f(x, y)dxdy = \int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)dx

6.2 极坐标计算

二重积分坐标选择技巧

积分区域是圆、扇形、环 → 优先选极坐标
积分区域是矩形、三角形 → 优先选直角坐标
被积函数含 $x^2 + y^2$ → 优先选极坐标

变换： $x = r\cos\theta$ ， $y = r\sin\theta$ ， $dxdy = r dr d\theta$

\iint_D f(x, y)dxdy = \iint_{D^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta)r dr d\theta

6.3 交换积分次序步骤

画出积分区域
改变积分顺序（X型↔Y型）
重新确定积分限

七、记忆口诀与技巧

导数口诀

幂函数导数：指数降一，乘原指数
指数函数：底数不变，底数取对
对数函数：一分之x，底数取对
三角函数：余弦正弦，正弦负余，正切正割方

积分选择技巧

看到根号、三角、反三角→换元法
看到两类函数相乘→分部积分
选 $u$ 顺序：反、对、幂、三、指

微分方程识别

$dy/dx$ 可以分离→可分离变量
$dy/dx = f(y/x)$ →齐次方程
$y' + P(x)y = Q(x)$ →一阶线性方程
$y'' + py' + qy = 0$ →二阶常系数齐次

二重积分选择

圆、扇形、环→极坐标
矩形、三角形→直角坐标
积分困难→交换次序

八、易错点提醒

考试易错点总结

这些是考试中最容易丢分的地方，请特别注意！

知识点	易错点
等价无穷小	只能在乘除中使用，加减慎用
不定积分	别忘加常数 $C$
定积分换元	换元必换限
分部积分	$u$ 选错顺序
偏导数	混淆偏导和全导
二重积分	积分次序选择不当
极值判定	$\Delta$ 和 $A$ 的符号记错

九、常见题型速查

极限题型

$\frac{0}{0}$ 型：约分、等价无穷小、洛必达
$\frac{\infty}{\infty}$ 型：洛必达、提取主部
$1^\infty$ 型：利用重要极限或取对数

导数题型

隐函数求导：方程两边对 $x$ 求导
参数方程求导： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
对数求导法：用于幂指函数 $u^v$

积分题型

有理函数积分：部分分式分解
三角有理式：万能代换或半角公式
根式代换：三角代换

应用题型

切线/法线：求导→切点→方程
最值：求导→驻点→比较端点和极值
面积：画图→定限→积分
体积：确定旋转轴→选公式→积分

十、公式速查表

常用极限

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1,\quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1,\quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1

高阶导数公式

(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right),\quad (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)

(e^{ax})^{(n)} = a^n e^{ax},\quad (\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}

积分公式速记

\int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C,\quad \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C

\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C,\quad \int \csc x dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C

\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C

\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C

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